No form of beauty is as flawless, as abstract, or as perennial as the mathematical beauty that derives from unassailable logical perfectness, for a mathematical proof is not earthly science, but a poetry written in logic.
[ –Adib Hasan đ ]

# Generating All Subsets of Size k in Python

Suppose you are given a set $$S$$ with $$n$$ elements and you need to generate every subset of size $$k$$ from it. For instance, if $$S=\{3,4,5\}$$ and $$k=2$$, then the answer would be $$\{3,4\}$$, $$\{3,5\}$$, $$\{4,5\}$$. So, how would you do that in Python?

First of all, this is a really simple exercise. Stuff like this often comes up when someone writes a moderately large script. I wanna talk about this one in particular because it has a combinatorial solution.

Before I show it to you, I highly recommend you think about it on your own.

#### Solution

Notice that if you convert the set to a list, every element is assigned to a unique index between $$0$$ and $$n-1$$. So, it suffices to generate all the subsets of size $$k$$ from $$\{0,1,\ldots,n-1\}$$.

Now, every such subset falls into one of two categories: either it contains $$n-1$$ or it doesn’t.

If $$n-1$$ belongs to the subset, the rest of its elements form a subset of size $$(k-1)$$ in $$\{0,1,\ldots,n-2\}$$.

If $$n-1$$ doesn’t belong to the subset, then that subset is also a subset of $$\{0,1,\ldots,n-2\}$$.

This is essentially a recursion. So, we are done.

Pretty neat, eh?

def gen_subset(n, k):
if n >= 0 and n >= k >= 0:
if n == 0 or k == 0:
yield set()
elif n == k:
# returns {0, 1, ..., n-1}
yield set(range(n))
else:
# ksubsets without n-1
yield from gen_subset(n-1, k)
# ksubsets with n-1
for subset in gen_subset(n-1, k-1):
subset.add(n-1)
yield subset
else:
raise ValueError("Illegal Parameters")


# Lie Detectors and the Story of Halting Turing Machines

Is it possible to design a machine that detects lies? Sure, people have already built devices called polygraphs that monitor blood pressure, respiration, pulse etc. to determine if a person is giving false information. However, that is not same as “detecting lies” because polygraphs merely measure physical effects of telling lies. On the top of that, they are hella inaccurate. I am talking about REAL lie detectors, ie. machines that can instantly validate the statements themselves. Can we actually make such machines? (*insert new startup idea*)

Well, turns out if we ever could make such machines, they would become incredibly handy tools for scientists and mathematicians. That’s because they could babble all sorts of scientific and mathematical conjectures to such a machine, if it beeped, they would know those conjectures were false. Their conversation might go like this:

Crazy Physicist: Higgs Boson exists.
Machine: *Says Nothing*
Crazy Physicist: Ureka! I was right all along.

Computer Scientist: P=NP #changemymind
Machine: *beep*
Computer Scientist: OMG. P=/=NP. I justÂ becameÂ aÂ millionaire.

Clearly, you can see how these lie detectors would trivialize almost every known problem of science and mathematics. Then, a very legit question would be why nobody even tried to build such a machine. Indeed, humankind has spared far more effort after making junks like philosopher stones and elixir of life.

Turns out there is something fundamentally wrong about the design of the lie detectors. Before I get to the details, let me tell you a cool life hack. If you ever meet people that claim to be oracles, do this to them:

You: Will I offer you $10? Whatever the oracle says, do the opposite. This clearly shows the oracles cannot predict the future. The same thing is true for our lie detectors. Here is why: Suppose you brought your friend Joe to show him the lie detector you bought. Now do the following: You: I’m gonna hand Joe$10.

Whatever the lie detector says, do the opposite.

Therefore, just as above, our precious lie detectors cannot exist. However, they did have a purpose. They helped me to show you a proof technique called Cantor’s Diagonal Argument. It is a really nifty tool to prove many advanced statements in computability theory. Here is the general idea:

• First you assume a machine with utterly unbelievable functions exists.
• Then you come up for a statement or input for this machine using its own functions.
• Finally, show that existence of such an input is contradictory to the existence of the machine itself.

As I’m running out of time, I’ll give you just one example of this technique. First proven by Alan Turing, it’s still one of the most famous proofs in computability theory.

Halting Turing Machine (HTM) is a special type of Turing machine that can instantly determine whether another Turing Machine halts on a specific input. In English, this means HTM is a cool app that can tell you whether one of the apps in your smartphone is gonna become unresponsive forever for a specific environment condition inside your smartphone. HTM would be a handy app, right? If HTM tells you an app is gonna be unresponsive beforehand, you’ll save time by not installing that crappy app. However, like all good things in computability theory, turns out HTM cannot exist either. This is because what if an evil developer created an app like this?

• Give my app’s code and current environment condition of the smartphone to the HTM
• Whatever the HTM says about my app, do the opposite inside the app.

Hence HTM is unable to predict what this evil dev’s app will do, and that’s why HTM cannot exist.

That’s it for today. I hope you enjoyed this blogpost. If you want to learn Computability Theory for real, I highly recommend Michael Sipser’s book.

āĻ­ā§āĻ°ā§āĻ° āĻā§ā§āĻžāĻļāĻžāĻ¸ā§āĻ¨āĻžāĻ¤ āĻ°ā§āĻĻā§āĻ° āĻāĻāĻāĻ˛
āĻ˛ā§āĻāĻŋā§ā§ āĻ°ā§āĻā§ āĻāĻŽāĻžāĻ° āĻāĻŋāĻā§ āĻŦā§āĻ¯āĻ°ā§āĻĨāĻ¤āĻžāĨ¤
āĻāĻ°ā§āĻ§āĻ°āĻžāĻ¤ā§āĻ° āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻĒā§āĻ°ā§āĻ¨ā§ āĻā§āĻ˛ā§āĻļāĻā§āĻā§ āĻŦāĻĄā§āĻĄ āĻĒā§āĻ°ā§ā§āĻāĻ¨āĨ¤
āĻāĻ āĻāĻŽāĻžāĻ° āĻŽāĻ¨ āĻ­āĻžāĻ˛ āĻ¨ā§āĻāĨ¤

# āĻ¨ā§āĻļāĻŦā§āĻĻ

āĻ¸ā§āĻ āĻĻāĻŋāĻ¨āĻā§āĻ˛ā§ āĻāĻŋāĻ˛ āĻāĻā§āĻāĻ˛,
āĻāĻŋāĻ˛ āĻĒāĻ˛āĻžāĻļā§āĻ° āĻŽāĻ¤ āĻāĻ¤ā§āĻ¤āĻžāĻ˛,
āĻāĻŋāĻ˛ āĻāĻāĻžāĻļā§āĻ° āĻ¤ā§āĻā§ āĻ°ā§āĻĻā§āĻĻā§āĻ°,
āĻ¨āĻāĻ°ā§āĻ° āĻŦā§āĻĒāĻ°ā§ā§āĻž āĻā§āĻ˛āĻžāĻšāĻ˛āĨ¤
āĻ¸ā§āĻāĻžāĻ¨ā§ āĻā§āĻŋ āĻŽā§āĻ¨ā§ āĻāĻ¸ā§ āĻ°āĻžāĻ¤ā§āĻ°āĻŋ
āĻ¯ā§āĻŽāĻ¨ āĻāĻžāĻšāĻžāĻā§āĻ° āĻā§āĻ¨ āĻ¯āĻžāĻ¤ā§āĻ°ā§
āĻŽā§āĻ¤ āĻĄāĻžāĻšā§āĻā§āĻ° āĻŽāĻ¤ āĻ¨āĻŋāĻļā§āĻā§āĻĒ
āĻā§āĻāĻ¨āĻžāĻ° āĻĢā§āĻ˛ āĻāĻ°ā§ āĻā§āĻĒ āĻā§āĻĒ
āĻŦā§āĻā§āĻ° āĻĒāĻžāĻāĻāĻ°ā§ āĻāĻšāĻ¤ āĻāĻŦā§āĻ
āĻĒā§āĻ°ā§āĻŽāĻŋāĻāĻžāĻ° āĻā§āĻā§ āĻ­āĻžāĻ¸ā§ āĻāĻ­āĻŋāĻ¯ā§āĻāĨ¤
āĻ¯āĻĻāĻŋ āĻĻāĻŋāĻāĻ¨ā§āĻ¤ āĻŦā§ā§ā§ āĻā§āĻĒāĻŋāĻ¸āĻžāĻ°ā§
āĻā§āĻ¨ āĻ­āĻžāĻ˛āĻŦāĻžāĻ¸āĻž āĻāĻ¸ā§ āĻā§āĻž āĻ¨āĻžā§ā§
āĻ¤āĻŦā§ āĻ¸āĻāĻĒā§ āĻĻāĻŋāĻ āĻ¤āĻžāĻā§ āĻ¯ā§āĻŦāĻ¨,
āĻĻāĻŋāĻ āĻāĻĒāĻ°āĻžāĻ§āĻŽāĻžāĻāĻž āĻā§āĻŽā§āĻŦāĻ¨
āĻ¯ā§āĻ­āĻžāĻŦā§ āĻ¸āĻāĻžāĻ˛ā§āĻ° āĻĢā§āĻāĻž āĻĒāĻ˛āĻžāĻļā§
āĻŦāĻ¸āĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ° āĻ°āĻ āĻŽā§āĻļā§ āĻ¸āĻšāĻžāĻ¸ā§āĨ¤

(āĻāĻ¸āĻŽāĻžāĻĒā§āĻ¤)

# āĻļāĻšāĻ°

āĻĒā§āĻ°āĻ¤āĻŋāĻāĻŋ āĻā§āĻ˛āĻžāĻ¨ā§āĻ¤ āĻĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ° āĻļā§āĻˇā§
āĻĒāĻ°āĻŽāĻāĻžāĻā§āĻā§āĻˇāĻŋāĻ¤ āĻŦāĻŋāĻā§āĻ˛ā§āĻ° āĻŽāĻ¤
āĻ¤ā§āĻŽāĻžāĻā§ āĻāĻŽāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§ā§āĻāĻ¨āĨ¤

āĻĒā§āĻ°āĻ¤āĻŋāĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻŋā§ āĻā§āĻāĻŋāĻ° āĻĻāĻŋāĻ¨ā§
āĻāĻ˛āĻ¸ā§āĻ¯āĻŽāĻžāĻāĻž āĻĻāĻŋāĻŦāĻžāĻ¨āĻŋāĻĻā§āĻ°āĻžāĻ° āĻŽāĻ¤ā§
āĻ¤ā§āĻŽāĻžāĻā§ āĻāĻŽāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§ā§āĻāĻ¨āĨ¤

āĻāĻāĻŦāĻžāĻ° āĻāĻ¸ā§ āĻ¨āĻž āĻāĻ āĻļāĻšāĻ°ā§!
āĻ¤ā§āĻŽāĻžāĻā§ āĻāĻŽāĻžāĻ° āĻŦāĻĄā§āĻĄ āĻĒā§āĻ°ā§ā§āĻāĻ¨āĨ¤

# A Special Case of Zsigmondy’s Theorem

Theorem (Zsigsmondy):Â

1. For two coprime positive integersÂ $$a$$ and $$b$$ and for any positive integer $$n$$, $$a^n-b^n$$ has a prime divisor that does not divide $$a^k-b^k$$ for all positive integers $$k< n$$ with the following exceptions:
• $$n = 2$$ and $$a+b$$ is a power of two.
• $$n=6, a=2, b=1$$.
2. For two coprime positive integersÂ $$a$$ and $$b$$ and for any positive integer $$n$$, $$a^n+b^n$$ has a prime divisor that does not divide $$a^k+b^k$$ for all positive integers $$k< n$$ with the following exception:
• $$n=3, a=2, b=1$$.

This theorem is very helpful in solving many olympiad number theory problems. However, its use is often frowned upon, as this theorem is quite hard to prove using only elementary mathematics. (I am aware of the proof using Cyclotomic Polynomials, but that’s not “elementary enough” in my opinion.)

In olympiad mathematics, one can get away in most of the cases by just using this theorem for a fixed pair of $$n$$ and $$k$$. This modification allows us to provide a very simple proof using LTE. Here I’ll restate this particular case, and then prove the first part. The second part can be proven analogously.

Theorem (Zsigsmondy Special Case):Â

1. For two coprime positive integersÂ $$a$$ and $$b$$ and any two positive integers $$n$$ and $$k$$ with $$k<n$$, $$a^n-b^n$$ has a prime divisor that does not divide $$a^k-b^k$$ with the following exception:
• $$n = 2, k=1$$ and $$a+b$$ is a power of two.
2. For two coprime positive integersÂ $$a$$ and $$b$$ and any two positive integers $$n$$ and $$k$$ with $$k<n$$, $$a^n+b^n$$ has a prime divisor that does not divide $$a^k+b^k$$ with the following exception:
• $$n=3, k=1,a=2, b=1$$.

Proof of 1:

Suppose $$a^n-b^n$$ and $$a^k-b^k$$ share same set of prime divisors. This implies $$a^n-b^n$$ and $$a^{\gcd(n,k)}-b^{\gcd(n,k)}$$ also share same set of prime divisors. Assuming $$A=a^{\gcd(n,k)}$$ and $$B=b^{\gcd(n,k)}$$, we could follow the rest of this argument and get to a contradiction. So, without loss of generality, we may assume $$k=1$$.

Now we consider two cases:

Case 1: $$n$$ is a power of $$2$$.
If $$n=2$$ and $$a+b$$ is a power of two, we arrive at one of the listed exceptions. Now note that,
\begin{align*}&\gcd(a+b, a^2+b^2)\\ =&\gcd(a+b, (a+b)^2-a^2-b^2)\\ =&\gcd(a+b,2ab)\\ =&\gcd(a+b,2)\end{align*}
This implies both $$a+b$$ and $$a^2+b^2$$ can’t be powers of two unless $$a+b=2\implies a=b=1$$. Hence at least one of them must have an odd prime divisor. Furthermore, this prime divisor does not divide $$a-b$$ since $$\gcd(a-b, a^2+b^2)=\gcd(a-b,2)$$ (following the previous steps). However, if $$n>2$$, then $$a^2+b^2|a^n-b^n$$, implying that odd prime will divide $$a^n-b^n$$. This is a contradiction.

Case 2: $$n=2^md$$ with $$d>1$$ being odd.
Without loss of generality, we may assume $$n>1$$ is odd, since $$a^d-b^d|a^n-b^n$$ and it is sufficient to show that $$a^d-b^d$$ has a prime divisor that does not divide $$a-b$$.Â Â From LTE, $$v_p(a-b)+v_p(n)=v_p(a^n-b^n)$$ for each odd prime $$p|a-b$$. Furthermore, $\frac{a^n-b^n}{a-b}\equiv na^{n-1}\equiv 1\pmod 2$ implying $$v_2(a-b)=v_2(a^n-b^n)$$. Therefore, we can conclude $\frac{a^n-b^n}{a-b}=\prod_{p|\gcd(n,a-b)}p^{v_p(n)}\leq n$ which is impossible for $$n>1$$. This raises another contradiction and we are done.

# āĻā§āĻ­āĻžāĻŦā§ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻ¤ā§āĻ°āĻŋ āĻšā§?

āĻāĻāĻžāĻŽā§ āĻā§ā§āĻāĻĻāĻŋāĻ¨ āĻāĻŽāĻŋ āĻāĻŋāĻā§ āĻā§āĻŦāĻŦāĻŋāĻā§āĻāĻžāĻ¨ā§āĻ° āĻŦāĻŋāĻˇā§ āĻ¨āĻŋā§ā§ āĻĒā§āĻ¸ā§āĻ āĻāĻ°āĻŦāĨ¤ āĻāĻŽāĻžāĻ° āĻāĻ¨ā§āĻˇā§āĻ āĻžāĻ¨āĻŋāĻ āĻĒā§āĻžāĻ° āĻŦāĻŋāĻˇā§ā§āĻ° āĻ¸āĻžāĻĨā§ āĻāĻā§āĻ˛ā§āĻ° āĻā§āĻŦ āĻāĻāĻāĻž āĻ¸āĻāĻ¯ā§āĻ āĻ¨ā§āĻ, āĻ¯āĻĻāĻŋāĻ āĻāĻ¨āĻžāĻ¨ā§āĻˇā§āĻ āĻžāĻ¨āĻŋāĻ āĻāĻāĻžāĻĄā§āĻŽāĻŋāĻ āĻā§āĻ¤ā§āĻšāĻ˛ āĻ¸ā§āĻŦāĻ¤āĻāĻ¸ā§āĻĢā§āĻ°ā§āĻ¤āĻ­āĻžāĻŦā§āĻ āĻāĻŋāĻ˛āĨ¤ āĻāĻŽāĻŋ āĻŽā§āĻāĻžāĻŽā§āĻāĻŋ āĻ¨āĻŋāĻļā§āĻāĻŋāĻ¤ āĻāĻāĻžāĻŽā§ āĻ¤āĻŋāĻ¨ āĻŽāĻžāĻ¸ā§āĻ° āĻŽāĻžāĻā§ āĻāĻ¸āĻŦā§āĻ°Â  āĻŦā§āĻļāĻŋāĻ°āĻ­āĻžāĻāĻ āĻāĻŽāĻžāĻ° āĻŽāĻ¨ā§ āĻĨāĻžāĻāĻŦā§ āĻ¨āĻžāĨ¤ āĻ¤āĻžāĻ āĻāĻā§āĻ˛ā§ āĻ˛āĻŋāĻā§ āĻ°āĻžāĻāĻžāĻ° āĻā§āĻˇā§āĻāĻž āĻāĻ°āĻž āĻšāĻ˛āĨ¤ āĻ¸āĻšāĻāĻŦā§āĻ§ā§āĻ¯āĻ¤āĻžāĻ° āĻāĻžāĻ¤āĻŋāĻ°ā§ āĻāĻŋāĻā§ āĻā§āĻˇā§āĻ¤ā§āĻ°ā§ āĻāĻĒāĻŋāĻāĻā§āĻ˛ā§ āĻāĻ¨ā§āĻāĻāĻžāĻ¨āĻŋ āĻ¸āĻ°āĻ˛ā§āĻāĻ°āĻŖ āĻāĻ°āĻž āĻšāĻŦā§āĨ¤ āĻāĻā§āĻ˛ā§ āĻāĻžāĻ°āĻ āĻā§āĻ¤ā§āĻšāĻ˛ āĻŽā§āĻāĻžāĻŦāĻžāĻ° āĻā§āĻ°āĻžāĻ āĻšāĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°ā§, āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ°ā§āĻĢāĻžāĻ°ā§āĻ¨ā§āĻ¸ āĻšāĻŋāĻ¸ā§āĻŦā§ āĻŽā§āĻā§āĻ āĻŦā§āĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻ° āĻāĻĒāĻ¯ā§āĻā§ āĻ¨ā§āĨ¤ āĻ¯āĻĻāĻŋ āĻāĻžāĻ°āĻ āĻŦāĻŋāĻ¸ā§āĻ¤āĻžāĻ°āĻŋāĻ¤ āĻāĻžāĻ¨āĻžāĻ° āĻāĻā§āĻā§ āĻĨāĻžāĻā§, āĻ¤āĻŦā§ āĻāĻŽāĻžāĻāĻāĻŋāĻ° āĻā§āĻ°ā§āĻ¸ ā§­.ā§Ļā§§ā§¨ āĻŦāĻž ā§­.ā§Ļā§§ā§Ŧ āĻāĻ¨āĻ˛āĻžāĻāĻ¨ā§ āĻĻā§āĻāĻ¤ā§ āĻĒāĻ°āĻžāĻŽāĻ°ā§āĻļ āĻĻā§āĻā§āĻž āĻšāĻ˛āĨ¤

### āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻāĻŦāĻ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄ

āĻā§āĻŦāĻ¨ āĻ¨āĻŋā§ā§ āĻāĻ˛ā§āĻāĻ¨āĻž āĻļā§āĻ°ā§ āĻāĻ°āĻ¤ā§ āĻšā§ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄ āĻĻāĻŋā§ā§āĨ¤ āĻāĻā§āĻ˛ā§ āĻā§āĻˇā§āĻ° āĻāĻ¸āĻāĻā§āĻ¯ āĻĢāĻžāĻāĻļāĻ¨āĻ° āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻāĻĒāĻ°āĻŋāĻšāĻžāĻ°ā§āĻ¯āĨ¤ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄ āĻšāĻā§āĻā§ āĻāĻŋāĻā§ āĻā§āĻŦāĻŋāĻ āĻāĻŖā§ āĻ¯āĻžāĻĻā§āĻ° āĻŽāĻžāĻā§ āĻāĻāĻāĻŋ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ āĻā§āĻ°ā§āĻĒ ($$-NH_2$$), āĻāĻāĻāĻŋ āĻāĻžāĻ°ā§āĻŦāĻā§āĻ¸āĻŋāĻ˛āĻŋāĻ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄ āĻā§āĻ°ā§āĻĒ ($$-COOH$$) āĻāĻŦāĻ āĻāĻāĻāĻŋ āĻ¸āĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨ ($$-R$$) āĻĻā§āĻāĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻā§āĻž āĻ¯āĻžā§āĨ¤ āĻ¯āĻĻāĻŋāĻ āĻĒā§āĻ°āĻžā§ ā§Ģā§Ļā§Ļ āĻāĻŋāĻ° āĻŽāĻ¤ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄ āĻāĻāĻ¨ āĻĒāĻ°ā§āĻ¯āĻ¨ā§āĻ¤ āĻāĻŦāĻŋāĻˇā§āĻā§āĻ¤ āĻšā§ā§āĻā§, āĻāĻĻā§āĻ° āĻŽāĻžāĻā§ āĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ° ā§¨ā§Ļ āĻāĻŋāĻā§ āĻā§āĻŦā§āĻ° āĻā§āĻ¨ā§āĻāĻŋāĻ āĻā§āĻĄā§ āĻĒāĻžāĻā§āĻž āĻ¯āĻžā§āĨ¤

āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄā§āĻ° āĻāĻāĻāĻŋ āĻŦāĻŋāĻļā§āĻˇ āĻŦā§āĻļāĻŋāĻˇā§āĻā§āĻ¯ āĻšāĻā§āĻā§ āĻĒāĻžāĻļāĻžāĻĒāĻžāĻļāĻŋ āĻĻā§āĻāĻāĻŋ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄā§āĻ° āĻāĻāĻāĻŋāĻ° āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ āĻā§āĻ°ā§āĻĒ āĻāĻŦāĻ āĻāĻ¨ā§āĻ¯āĻāĻŋāĻ° āĻāĻžāĻ°ā§āĻŦāĻā§āĻ¸āĻŋāĻ˛āĻŋāĻ āĻā§āĻ°ā§āĻĒ āĻĨā§āĻā§ āĻāĻ āĻāĻŖā§ āĻĒāĻžāĻ¨āĻŋ āĻāĻĒāĻ¸āĻžāĻ°āĻŋāĻ¤ āĻšā§ā§ āĻāĻ°āĻž āĻĒāĻ°āĻ¸ā§āĻĒāĻ°ā§āĻ° āĻ¸āĻžāĻĨā§ āĻ¯ā§āĻā§āĻ¤ āĻšāĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°ā§āĨ¤ āĻāĻŽāĻ¨ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§āĻ¨āĻā§ āĻā§āĻŦāĻŦāĻŋāĻā§āĻāĻžāĻ¨ā§ āĻŦāĻ˛āĻž āĻšā§Â āĻĒā§āĻĒāĻāĻžāĻāĻĄ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§āĻ¨Â āĨ¤ āĻāĻĒāĻ¯ā§āĻā§āĻ¤ āĻĒāĻ°āĻŋāĻŦā§āĻļā§ āĻāĻā§āĻ° āĻĒāĻ° āĻāĻ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄ āĻĒāĻ°āĻ¸ā§āĻĒāĻ°ā§āĻ° āĻ¸āĻžāĻĨā§ āĻ¯ā§āĻā§āĻ¤ āĻšā§ā§ āĻŦāĻŋāĻļāĻžāĻ˛ āĻŦā§ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄā§āĻ° āĻļā§āĻāĻ˛ āĻ¤ā§āĻ°āĻŋ āĻāĻ°āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°ā§āĨ¤ āĻāĻŽāĻ¨ āĻļā§āĻāĻ˛āĻā§ āĻŦāĻ˛āĻž āĻšā§Â āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒāĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨āĨ¤

āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻšāĻā§āĻā§ āĻāĻŽāĻ¨ āĻāĻ āĻŦāĻž āĻāĻāĻžāĻ§āĻŋāĻ āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒāĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨ā§āĻ° āĻ¸āĻŽāĻ¨ā§āĻŦā§ā§ āĻāĻ āĻŋāĻ¤ āĻŦāĻŋāĻļāĻžāĻ˛ āĻāĻ āĻā§āĻŦāĻŋāĻ āĻāĻŖā§āĨ¤ āĻā§āĻ¨ āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒā§āĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨ā§āĻ° āĻ¯ā§āĻā§āĻ¨ā§ āĻāĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§ āĻŦāĻŋāĻļāĻāĻŋ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄā§āĻ° āĻ¯ā§āĻā§āĻ¨ā§āĻāĻŋ āĻŦāĻ¸āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°ā§āĨ¤ āĻ¤āĻžāĻ āĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ° $$30$$ āĻāĻŋ āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒā§āĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨ā§āĻ° āĻ­āĻŋāĻ¨ā§āĻ¨ āĻ­āĻŋāĻ¨ā§āĻ¨ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§āĻļāĻ¨ āĻšāĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°ā§ $$20^{30}$$ āĻāĻŋ! āĻ¯ā§āĻā§āĻ¨ āĻāĻ°ā§āĻāĻžāĻ¨āĻŋāĻāĻŽā§āĻ° āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ° āĻā§ā§ā§ āĻŦā§ āĻĒāĻĒāĻŋāĻĒā§āĻĒā§āĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨ āĻāĻšāĻ°āĻšāĻ āĻĻā§āĻāĻž āĻ¯āĻžā§āĨ¤ āĻāĻāĻ¨ā§āĻ¯āĻ āĻ¯ā§āĻā§āĻ¨ āĻāĻ°ā§āĻāĻžāĻ¨āĻŋāĻāĻŽā§ āĻāĻ¤ āĻ­āĻŋāĻ¨ā§āĻ¨ āĻ­āĻŋāĻ¨ā§āĻ¨ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻĒāĻžāĻā§āĻž āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦāĨ¤ āĻ¤āĻŦā§ āĻŽāĻ¨ā§ āĻ°āĻžāĻāĻ¤ā§ āĻšāĻŦā§ āĻļā§āĻ§ā§ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄā§āĻ° āĻŦā§āĻāĻŋāĻ¤ā§āĻ°ā§āĻ¯ āĻ¨ā§, āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ° āĻ¤ā§āĻ°āĻŋāĻŽāĻžāĻ¤ā§āĻ°āĻŋāĻ āĻāĻāĻžāĻ°āĻ āĻāĻ° āĻāĻžāĻ°ā§āĻ¯āĻāĻžāĻ°ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻĒā§āĻāĻ¨ā§ āĻ­ā§āĻŽāĻŋāĻāĻž āĻĒāĻžāĻ˛āĻ¨ āĻāĻ°ā§āĨ¤ āĻāĻāĻ¨ā§āĻ¯āĻ āĻāĻ¨ā§āĻ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻ¤āĻžāĻĒ, pH āĻĒā§āĻ°āĻ­ā§āĻ¤āĻŋāĻ¤ā§ āĻ¸āĻāĻŦā§āĻĻāĻ¨āĻļā§āĻ˛ (sensitive) āĻšā§ā§ āĻĨāĻžāĻā§āĨ¤ āĻ¯ā§āĻŽāĻ¨- āĻ¤āĻžāĻĒā§ āĻāĻ¨ā§āĻ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ° āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒā§āĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨āĻā§āĻ˛ā§ āĻŦāĻŋāĻŽā§āĻā§āĻ¤ āĻšā§ā§ āĻ¯āĻžā§ āĻāĻŦāĻ āĻ¤āĻžāĻĒ āĻ¸āĻ°āĻŋā§ā§ āĻ¨āĻŋāĻ˛ā§āĻ āĻāĻŦāĻžāĻ° āĻ¸ā§āĻā§āĻ˛ā§ āĻĒā§āĻ°ā§āĻŦā§āĻ° āĻāĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻžā§ āĻĢā§āĻ°āĻ¤ āĻāĻ¸ā§ āĻ¨āĻžāĨ¤ āĻāĻāĻ¨ā§āĻ¯āĻ āĻĄāĻŋāĻŽ āĻ¸ā§āĻĻā§āĻ§ āĻāĻ°āĻ˛ā§ āĻāĻŽāĻžāĻ āĻŦā§āĻāĻ§ā§ āĻ¯āĻžā§āĨ¤

āĻĒā§āĻ°āĻ¤āĻŋāĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻŦāĻžāĻ¨āĻžāĻ¨ā§āĻ° āĻ°ā§āĻ¸āĻŋāĻĒāĻŋ āĻ˛āĻŋāĻāĻž āĻĨāĻžāĻā§ āĻā§āĻŦā§āĻ° āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻ āĻŦāĻž āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻāĻ¤ā§āĨ¤ āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻ¸āĻŦ āĻā§āĻˇā§ āĻāĻāĻ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻ āĻĨāĻžāĻāĻž āĻ¸āĻ¤ā§āĻ¤ā§āĻŦā§āĻ āĻ¸āĻŦ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻ¸āĻŦ āĻā§āĻˇā§ āĻ¤ā§āĻ°āĻŋ āĻšā§ āĻ¨āĻžāĨ¤ āĻ¤āĻžāĻ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻŦāĻžāĻ¨āĻžāĻ¨ā§ āĻŦā§āĻāĻ¤ā§ āĻšāĻ˛ā§ āĻāĻŽāĻžāĻĻā§āĻ° āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻ āĻāĻŦāĻ āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ āĻ¸āĻŽā§āĻĒāĻ°ā§āĻā§ āĻāĻŋāĻā§āĻāĻž āĻā§āĻ¨ā§ āĻ¨ā§āĻā§āĻž āĻĒā§āĻ°ā§ā§āĻāĻ¨āĨ¤

### āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻ āĻāĻŦāĻ āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ āĻāĻ¸āĻ˛ā§ āĻā§

āĻ¯ā§āĻā§āĻ¨ āĻāĻ°ā§āĻāĻžāĻ¨āĻŋāĻāĻŽāĻā§ āĻāĻ¸āĻ˛ā§ āĻāĻŽā§āĻĒāĻŋāĻāĻāĻžāĻ°ā§āĻ° āĻ¸āĻžāĻĨā§ āĻ¤ā§āĻ˛āĻ¨āĻž āĻāĻ°āĻž āĻ¯āĻžā§āĨ¤ āĻāĻŽā§āĻĒāĻŋāĻāĻāĻžāĻ°ā§ āĻ¯āĻāĻ¨ āĻā§āĻ¨ āĻ¤āĻĨā§āĻ¯ āĻ¸āĻāĻ°āĻā§āĻˇāĻŖ āĻāĻ°ā§ āĻ°āĻžāĻāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§ā§āĻāĻ¨ āĻšā§, āĻāĻŽāĻ°āĻž āĻŦā§āĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻŋ āĻšāĻžāĻ°ā§āĻĄāĻĄāĻŋāĻ¸ā§āĻāĨ¤ āĻ¤ā§āĻŽāĻ¨āĻŋ āĻāĻ°ā§ āĻĒā§āĻ°āĻ¤āĻŋāĻāĻŋ āĻā§āĻŦā§āĻ° āĻ¸āĻŽāĻ¸ā§āĻ¤ āĻāĻŋāĻ¨āĻāĻ¤ āĻ¤āĻĨā§āĻ¯ āĻĒā§āĻ°āĻā§āĻ¤āĻŋ āĻ¸ā§āĻ°āĻā§āĻˇāĻŋāĻ¤ āĻ°āĻžāĻā§ āĻ¸ā§āĻ āĻā§āĻŦā§āĻ° āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ¤ā§āĨ¤ āĻšāĻžāĻ°ā§āĻĄāĻĄāĻŋāĻ¸ā§āĻā§ āĻ¤āĻĨā§āĻ¯ āĻ˛āĻŋāĻā§ āĻ°āĻžāĻāĻž āĻšā§ 0 āĻāĻ° 1 āĻĻāĻŋā§ā§āĨ¤ āĻāĻ° āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ¤ā§ āĻ¤āĻĨā§āĻ¯ āĻ˛āĻŋāĻā§ āĻ°āĻžāĻāĻž āĻšā§ āĻāĻžāĻ°āĻāĻŋ āĻ¨āĻžāĻāĻā§āĻ°ā§āĻā§āĻ¨āĻžāĻ¸ āĻŦā§āĻāĻ¸ āĻĒā§ā§āĻžāĻ° āĻĻāĻŋā§ā§, āĻ¯āĻžāĻĻā§āĻ° āĻ¨āĻžāĻŽÂ āĻāĻĄāĻŋāĻ¨āĻŋāĻ¨ (A), āĻĨāĻžāĻāĻŽāĻŋāĻ¨ (T), āĻā§ā§āĻžāĻ¨āĻŋāĻ¨ (G) āĻāĻŦāĻ āĻ¸āĻžāĻāĻā§āĻ¸āĻŋāĻ¨ (C). āĻā§āĻŦ āĻā§āĻ°ā§āĻ¤ā§āĻŦāĻĒā§āĻ°ā§āĻŖ āĻ¤āĻĨā§āĻ¯ āĻ¨āĻž āĻšāĻ˛ā§ āĻāĻŽāĻ°āĻž āĻ¸āĻžāĻ§āĻžāĻ°āĻŖāĻ¤ āĻāĻžāĻĻāĻž āĻāĻžāĻĻāĻž āĻŦā§āĻ¯āĻžāĻāĻāĻĒ āĻ°āĻžāĻāĻŋ āĻ¨āĻž, āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ° āĻ¸āĻāĻ˛ āĻ¤āĻĨā§āĻ¯ā§āĻ° āĻŦā§āĻ¯āĻžāĻāĻāĻĒ āĻ°āĻžāĻāĻž āĻšā§ āĻā§āĻŦā§āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ¤āĻŋāĻāĻŋ āĻā§āĻˇā§āĨ¤

āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§āĻŖāĻ°ā§āĻĒ āĻšāĻ˛ āĻĄāĻŋāĻāĻā§āĻ¸āĻŋ āĻ°āĻžāĻāĻŦā§āĻ¨āĻŋāĻāĻā§āĻ˛āĻŋā§āĻŋāĻ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄāĨ¤Â āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ° āĻ¤āĻŋāĻ¨āĻāĻŋ āĻāĻāĻļ– āĻ¨āĻžāĻāĻā§āĻ°ā§āĻā§āĻ¨āĻžāĻ¸ āĻŦā§āĻāĻ¸, āĻĒāĻžāĻāĻ āĻāĻžāĻ°ā§āĻŦāĻ¨ā§āĻ° āĻāĻāĻāĻŋ āĻŦāĻŋāĻļā§āĻˇ āĻāĻŋāĻ¨āĻŋ (āĻĄāĻŋāĻāĻā§āĻ¸āĻŋ āĻ°āĻžāĻāĻŦā§āĻ) āĻāĻŦāĻ āĻĢāĻ¸āĻĢā§āĻ āĻā§āĻ°ā§āĻĒāĨ¤ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ¤ā§ āĻ¸āĻžāĻĒā§āĻ° āĻŽāĻ¤ā§ āĻĻā§āĻāĻāĻŋ āĻāĻāĻāĻžāĻŦāĻžāĻāĻāĻž āĻ¸ā§āĻ¤āĻžā§ āĻĢāĻ¸āĻĢā§āĻ āĻā§āĻ°ā§āĻĒ āĻāĻ° āĻāĻŋāĻ¨āĻŋāĻ° āĻ­āĻŋāĻ¤ā§āĻ° āĻāĻĒāĻ° āĻŦā§āĻāĻ¸āĻā§āĻ˛ā§ āĻ¸āĻžāĻ°āĻŋāĻŦāĻĻā§āĻ§āĻ­āĻžāĻŦā§ āĻ¸āĻžāĻāĻžāĻ¨ā§ āĻĨāĻžāĻā§āĨ¤ āĻĻā§āĻāĻāĻŋ āĻ¸ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻŦāĻŋāĻĒāĻ°ā§āĻ¤ āĻŦā§āĻāĻ¸āĻā§āĻ˛ā§ āĻšāĻžāĻāĻĄā§āĻ°ā§āĻā§āĻ¨ āĻŦāĻ¨ā§āĻ§āĻ¨ā§āĻ° āĻāĻžāĻ°āĻŖā§ āĻĒāĻ°āĻ¸ā§āĻĒāĻ°ā§āĻ° āĻ¸āĻžāĻĨā§ āĻ¯ā§āĻā§āĻ¤āĨ¤ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ° āĻĻā§āĻāĻāĻŋ āĻ¸ā§āĻ¤āĻž āĻāĻŽāĻĒā§āĻ˛āĻŋāĻŽā§āĻ¨ā§āĻāĻžāĻ°āĻŋ, āĻāĻ°ā§āĻĨāĻžā§ āĻāĻā§ āĻāĻ¨ā§āĻ¯ā§āĻ° āĻāĻžāĻāĻā§āĻ° āĻŽāĻ¤āĨ¤ āĻāĻ āĻ¸ā§āĻ¤āĻžā§ A-āĻ° āĻŦāĻŋāĻĒāĻ°ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¸ā§āĻ¤āĻžā§ āĻ¸āĻŦāĻ¸āĻŽā§ T, āĻāĻŦāĻ C-āĻāĻ° āĻŦāĻŋāĻĒāĻ°ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¸ā§āĻ¤āĻžā§ āĻ¸āĻŦāĻ¸āĻŽā§ G āĻŦāĻ¸ā§āĨ¤

āĻĄāĻŋāĻāĻā§āĻ¸āĻŋ āĻ°āĻžāĻāĻŦā§āĻā§āĻ° āĻāĻžāĻ°ā§āĻŦāĻ¨āĻā§āĻ˛ā§āĻā§ āĻā§āĻŦāĻ¯ā§āĻā§āĻ° āĻ¨āĻžāĻŽāĻāĻ°āĻŖā§āĻ° āĻ¨āĻŋā§āĻŽā§ āĻ¨āĻžāĻŽā§āĻŦāĻžāĻ° āĻĻā§āĻā§āĻž āĻšāĻ˛ā§ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ¤ā§āĻ¯ā§āĻāĻāĻŋ āĻ¸ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻāĻ āĻŽāĻžāĻĨāĻžā§ 5′ āĻŦāĻŋāĻļāĻŋāĻˇā§āĻ āĻāĻžāĻ°ā§āĻŦāĻ¨ āĻāĻŦāĻ āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻŽāĻžāĻĨāĻžā§ 3′ āĻŦāĻŋāĻļāĻŋāĻˇā§āĻ āĻāĻžāĻ°ā§āĻŦāĻ¨ āĻĒā§ā§āĨ¤ āĻāĻ āĻāĻ¨ā§āĻ¸āĻžāĻ°ā§Â  āĻŽāĻžāĻĨāĻž āĻĻā§āĻāĻāĻŋāĻā§ 5′ āĻŽāĻžāĻĨāĻž āĻāĻŦāĻ 3′ āĻŽāĻžāĻĨāĻž āĻŦāĻ˛āĻž āĻšā§āĨ¤ āĻ¤āĻŦā§Â  āĻĻā§āĻāĻāĻŋ āĻāĻŽāĻĒā§āĻ˛āĻŋāĻŽā§āĻ¨ā§āĻāĻžāĻ°āĻŋ āĻ¸ā§āĻ¤āĻžāĻ° āĻāĻāĻ āĻŽāĻžāĻĨāĻž āĻŦāĻŋāĻĒāĻ°ā§āĻ¤ āĻĻāĻŋāĻā§ āĻĨāĻžāĻā§āĨ¤

āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻ āĻāĻžā§āĻžāĻ āĻāĻ°āĻ āĻāĻ āĻ°āĻāĻŽā§āĻ° āĻ¨āĻŋāĻāĻā§āĻ˛āĻŋā§āĻŋāĻ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄ āĻāĻā§, āĻ¯āĻžāĻ° āĻ¨āĻžāĻŽ āĻ°āĻžāĻāĻŦā§āĻ¨āĻŋāĻāĻā§āĻ˛āĻŋā§āĻŋāĻ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄāĨ¤ āĻāĻ¤ā§ āĻĄāĻŋāĻāĻā§āĻ¸āĻŋ āĻ°āĻžāĻāĻŦā§āĻā§āĻ° āĻĒāĻ°āĻŋāĻŦāĻ°ā§āĻ¤ā§ āĻāĻŋāĻ¨āĻŋ āĻšāĻŋāĻ¸ā§āĻŦā§ āĻĨāĻžāĻā§ āĻ°āĻžāĻāĻŦā§āĻ, āĻāĻŦāĻ āĻĨāĻžāĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§āĻ° (T) āĻĒāĻ°āĻŋāĻŦāĻ°ā§āĻ¤ā§ āĻŦāĻ¸ā§ āĻāĻāĻ°āĻžāĻ¸āĻŋāĻ˛ (U). āĻāĻ āĻāĻ˛ā§āĻĒ āĻāĻāĻā§āĻāĻžāĻ¨āĻŋ āĻĒāĻ°āĻŋāĻŦāĻ°ā§āĻ¤āĻ¨ā§āĻ° āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻ āĻāĻŦāĻ āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻāĻ° āĻāĻ°āĻŋāĻ¤ā§āĻ°ā§ āĻ°āĻžāĻ¤āĻĻāĻŋāĻ¨ āĻĒāĻžāĻ°ā§āĻĨāĻā§āĻ¯ āĻšā§ā§ āĻ¯āĻžā§āĨ¤ āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻāĻ° āĻŽā§āĻā§āĻ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ° āĻŽāĻ¤ āĻ¸ā§āĻ¨āĻŋāĻ°ā§āĻĻāĻŋāĻˇā§āĻ āĻā§āĻ¨ āĻāĻ āĻ¨ āĻ¨ā§āĻāĨ¤ āĻāĻ°āĻž āĻŦāĻŋāĻ­āĻŋāĻ¨ā§āĻ¨ āĻ°āĻāĻŽā§āĻ° āĻšāĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°ā§ (āĻ¯ā§āĻŽāĻ¨-Â āĻŽā§āĻ¸ā§āĻā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ, āĻā§āĻ°āĻžāĻ¨ā§āĻ¸āĻĢāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ, āĻ°āĻžāĻāĻŦā§āĻ¸ā§āĻŽāĻžāĻ˛ āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ āĻĒā§āĻ°āĻ­ā§āĻ¤āĻŋ) āĻāĻŦāĻ āĻā§āĻˇā§āĻ° āĻ­āĻŋāĻ¨ā§āĻ¨ āĻ­āĻŋāĻ¨ā§āĻ¨ āĻāĻžāĻā§ āĻāĻ°āĻž āĻŦā§āĻ¯āĻŦāĻšā§āĻ¤ āĻšā§āĨ¤ āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ° āĻ¤ā§āĻ˛āĻ¨āĻžā§ āĻāĻ¨ā§āĻ āĻŦā§āĻļāĻŋ āĻ¸āĻā§āĻ°āĻŋā§ āĻšā§ āĻāĻŦāĻ āĻ¸ā§āĻĨāĻŋāĻ¤āĻŋāĻļā§āĻ˛āĻ¤āĻžāĻ āĻāĻ¨ā§āĻ āĻāĻŽāĨ¤Â āĻāĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻŦāĻāĻļāĻāĻ¤ āĻ¤āĻĨā§āĻ¯ āĻ¸āĻāĻ°āĻā§āĻˇāĻŖā§ āĻā§āĻˇ āĻ¸āĻžāĻ§āĻžāĻ°āĻŖāĻ¤ āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ āĻŦā§āĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻ° āĻāĻ°ā§ āĻ¨āĻžāĨ¤ āĻ¤āĻŦā§ āĻāĻŋāĻā§ āĻā§āĻˇā§āĻ¤ā§āĻ°ā§ āĻāĻ āĻŦā§āĻļāĻŋāĻˇā§āĻā§āĻ¯āĻā§āĻ˛ā§ āĻā§āĻŦā§āĻ° āĻŦā§āĻāĻā§ āĻĨāĻžāĻāĻžāĻ° āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¸āĻšāĻžā§āĻāĨ¤ āĻ¯ā§āĻŽāĻ¨- āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ āĻĨāĻžāĻāĻžāĻ° āĻāĻžāĻ°āĻŖā§ āĻĢā§āĻ˛ā§ āĻ­āĻžāĻāĻ°āĻžāĻ¸ āĻā§āĻŦ āĻ¸āĻšāĻā§ āĻ¨āĻŋāĻā§āĻ° āĻā§āĻšāĻžāĻ°āĻžā§ āĻĒāĻ°āĻŋāĻŦāĻ°ā§āĻ¤āĻ¨ āĻāĻ¨ā§ āĻāĻŽāĻžāĻĻā§āĻ° āĻļāĻ°ā§āĻ°ā§āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ¤āĻŋāĻ°āĻā§āĻˇāĻž āĻŦā§āĻ¯āĻŦāĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻā§ āĻŦāĻžāĻ° āĻŦāĻžāĻ° āĻĢāĻžāĻāĻāĻŋ āĻĻāĻŋāĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°ā§āĨ¤

### āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻ āĻāĻŦāĻ āĻāĻŋāĻ¨

āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻ āĻāĻāĻāĻŋ āĻā§āĻŦā§āĻ° āĻŦāĻāĻļāĻāĻ¤ āĻ¸āĻāĻ˛ āĻ¤āĻĨā§āĻ¯ āĻ¸āĻāĻ°āĻā§āĻˇāĻŖ āĻāĻ°ā§āĨ¤ āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŦā§āĻāĻā§ āĻĨāĻžāĻāĻžāĻ° āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻ¤āĻĨā§āĻ¯ āĻļā§āĻ§ā§ āĻ¸āĻāĻ°āĻā§āĻˇāĻŖ āĻāĻ°ā§ āĻ°āĻžāĻāĻžāĻ āĻ¯āĻĨā§āĻˇā§āĻ āĻ¨ā§āĨ¤ āĻāĻ āĻ¤āĻĨā§āĻ¯ āĻŦā§āĻ¯āĻŦāĻšāĻžāĻ°āĻ āĻāĻ°āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°āĻž āĻĒā§āĻ°ā§ā§āĻāĻ¨āĨ¤ āĻ¸ā§āĻāĻž āĻā§āĻ­āĻžāĻŦā§ āĻāĻ°āĻž āĻ¯āĻžā§? āĻāĻ¤ā§āĻ¤āĻ°āĻāĻž āĻšāĻā§āĻā§ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻŦāĻžāĻ¨āĻŋā§ā§!

āĻāĻāĻāĻž āĻāĻ°ā§āĻāĻžāĻ¨āĻŋāĻāĻŽā§āĻ° āĻ¸āĻŽā§āĻĒā§āĻ°ā§āĻŖ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻ āĻāĻ¨ā§āĻ āĻ˛āĻŽā§āĻŦāĻžāĨ¤ āĻ¯ā§āĻŽāĻ¨- āĻŽāĻžāĻ¨ā§āĻˇā§āĻ° āĻĒā§āĻ°ā§āĻŖāĻžāĻā§āĻ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ° āĻĻā§āĻ°ā§āĻā§āĻ¯ āĻĒā§āĻ°āĻžā§ āĻā§ āĻĢā§āĻ! āĻāĻ āĻ¸āĻŦāĻā§āĻā§ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ¤ā§ āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻŦāĻžāĻ¨āĻžāĻ¨ā§āĻ° āĻ°ā§āĻ¸āĻŋāĻĒāĻŋ āĻ˛āĻŋāĻāĻž āĻĨāĻžāĻā§ āĻ¨āĻž, āĻŦāĻ°āĻ āĻāĻŋāĻā§ āĻāĻŋāĻā§ āĻāĻāĻļā§ āĻĨāĻžāĻā§āĨ¤ āĻāĻā§āĻ˛ā§āĻ āĻšāĻā§āĻā§ āĻāĻŋāĻ¨ (Gene). āĻāĻ°ā§āĻāĻā§ āĻāĻāĻžāĻĄā§āĻŽāĻŋāĻ āĻ­āĻžāĻˇāĻžā§ āĻāĻŋāĻ¨ āĻšāĻā§āĻā§ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ° āĻāĻŽāĻ¨ āĻā§āĻ¨ āĻāĻ¨ā§āĻĄ āĻ¯āĻž āĻĢāĻžāĻāĻļāĻ¨āĻžāĻ˛ āĻā§āĻ¨ āĻāĻŖā§āĻ° āĻā§āĻĄ āĻ§āĻžāĻ°āĻŖ āĻāĻ°ā§āĨ¤ āĻāĻāĻāĻŋ āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ° āĻŦā§āĻļ āĻā§ā§āĻāĻāĻŋ āĻāĻāĻļ:

1. āĻĒā§āĻ°ā§āĻŽā§āĻāĻžāĻ° (Promoter)
2. āĻāĻ¨ā§āĻā§āĻ°āĻžāĻ¨ā§āĻ¸āĻ˛ā§āĻā§āĻĄ āĻ°āĻŋāĻāĻŋā§āĻ¨ (Untranslated Region or UTR)
3. āĻāĻĒā§āĻ¨ āĻ°āĻŋāĻĄāĻŋāĻ āĻĢā§āĻ°ā§āĻŽ
4. āĻāĻžāĻ°ā§āĻŽāĻŋāĻ¨ā§āĻāĻ°

āĻāĻāĻžā§āĻž āĻā§āĻ°āĻžāĻ¨āĻ¸ā§āĻā§āĻ°āĻŋāĻĒāĻļāĻ¨ āĻĢā§āĻ¯āĻžāĻā§āĻāĻ° āĻ¨āĻžāĻŽā§āĻ° āĻāĻŋāĻā§ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻā§āĻ¨ āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻāĻžāĻļā§āĻ° (expression) āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻāĻĒāĻ°āĻŋāĻšāĻžāĻ°ā§āĻ¯āĨ¤ āĻ¯āĻāĻ¨ āĻā§āĻˇā§āĻ° āĻā§āĻ¨ āĻāĻŋāĻ¨ āĻĨā§āĻā§ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻŦāĻžāĻ¨āĻžāĻ¨ā§āĻ° āĻĒā§āĻ°ā§ā§āĻāĻ¨ āĻšā§, āĻāĻ¨ā§āĻāĻā§āĻ˛ā§ āĻ­āĻŋāĻ¨ā§āĻ¨ āĻ­āĻŋāĻ¨ā§āĻ¨Â  āĻā§āĻ°āĻžāĻ¨ā§āĻ¸āĻā§āĻ°āĻŋāĻĒāĻļāĻ¨ āĻĢā§āĻ¯āĻžāĻā§āĻāĻ° āĻāĻŋāĻ¨āĻāĻŋāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§āĻŽā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻāĻļā§ āĻ¯ā§āĻā§āĻ¤ āĻšā§āĨ¤ āĻ¸āĻŦ āĻā§āĻ°āĻžāĻ¨āĻ¸ā§āĻā§āĻ°āĻŋāĻĒāĻļāĻ¨ āĻĢā§āĻ¯āĻžāĻā§āĻāĻ° āĻ¸āĻŦ āĻā§āĻˇā§ āĻĨāĻžāĻā§ āĻ¨āĻžāĨ¤ āĻ¤āĻžāĻ āĻ¸āĻŦ āĻāĻŋāĻ¨ āĻ¸āĻŦ āĻā§āĻˇā§ āĻĒā§āĻ°āĻāĻžāĻļāĻŋāĻ¤ āĻšā§ āĻ¨āĻžāĨ¤

### āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻ¸āĻŋāĻ¨ā§āĻĨā§āĻ¸āĻŋāĻ¸

āĻĒā§āĻ°āĻžā§ āĻĒāĻā§āĻāĻžāĻļāĻāĻŋāĻ° āĻŽāĻ¤ āĻā§āĻ°āĻžāĻ¨ā§āĻ¸āĻā§āĻ°āĻŋāĻĒāĻļāĻ¨ āĻĢā§āĻ¯āĻžāĻā§āĻāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§āĻŽā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻāĻļā§ āĻ¯ā§āĻā§āĻ¤ āĻšāĻ˛ā§ āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ āĻĒāĻ˛āĻŋāĻŽāĻžāĻ°ā§āĻ (RNA Polymerase) āĻ¨āĻžāĻŽā§āĻ° āĻāĻāĻāĻŋ āĻāĻ¨āĻāĻžāĻāĻŽ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻ āĻĨā§āĻā§ āĻ¸ā§āĻ āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ° āĻā§āĻĄ āĻāĻĒāĻŋ āĻāĻ°ā§ āĻŽā§āĻ¸ā§āĻā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ āĻ¤ā§āĻ°āĻŋ āĻāĻ°āĻž āĻļā§āĻ°ā§ āĻāĻ°ā§āĨ¤ āĻ¤āĻŦā§ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ¤ā§ āĻāĻāĻāĻŋ āĻŦāĻŋāĻļā§āĻˇ āĻ¸āĻŋāĻā§ā§ā§āĻ¨ā§āĻ¸ āĻĒāĻžāĻā§āĻžāĻ° āĻāĻā§ āĻāĻ āĻāĻĒāĻŋ āĻāĻ°āĻž āĻļā§āĻ°ā§ āĻšā§ āĻ¨āĻžāĨ¤ āĻāĻ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨āĻāĻŋāĻ° āĻ¨āĻžāĻŽ āĻ¸ā§āĻāĻžāĻ°ā§āĻ āĻā§āĻĄāĻ¨ (Start Codon). āĻāĻ§āĻŋāĻāĻžāĻāĻļ āĻāĻ°ā§āĻāĻžāĻ¨āĻŋāĻāĻŽā§ āĻāĻāĻŋ āĻšāĻā§āĻā§ ATG. āĻĒā§āĻ°ā§āĻŽā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻŦāĻ āĻ¸ā§āĻāĻžāĻ°ā§āĻ āĻā§āĻĄāĻ¨ā§āĻ° āĻŽāĻžāĻā§āĻ° āĻāĻāĻļāĻāĻŋ āĻŽā§āĻ¸ā§āĻā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻāĻ¤ā§ āĻāĻĒāĻŋ āĻāĻ°āĻž āĻšā§ āĻ¨āĻžāĨ¤ āĻāĻā§ āĻŦāĻ˛ā§ āĻāĻ¨āĻā§āĻ°āĻžāĻ¨ā§āĻ¸āĻ˛ā§āĻā§āĻĄ āĻ°āĻŋāĻāĻŋā§āĻ¨ āĻŦāĻž āĻāĻāĻāĻŋāĻāĻ°āĨ¤ āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ āĻĒāĻ˛āĻŋāĻŽāĻžāĻ°ā§āĻ āĻ¸ā§āĻāĻžāĻ°ā§āĻ āĻā§āĻĄāĻ¨ āĻĨā§āĻā§ āĻĒāĻ°ā§āĻ° āĻŦā§āĻāĻ¸āĻā§āĻ˛ā§ āĻāĻāĻāĻŋāĻ° āĻĒāĻ° āĻāĻāĻāĻŋ āĻāĻ°ā§ āĻŽā§āĻ¸ā§āĻā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻāĻ¤ā§ āĻāĻĒāĻŋ āĻāĻ°āĻ¤ā§ āĻĨāĻžāĻā§āĨ¤ āĻĒāĻ°āĻŦāĻ°ā§āĻ¤ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ¨āĻāĻžāĻāĻŽāĻāĻŋ āĻĄāĻŋāĻāĻ¨āĻāĻ¤ā§ āĻāĻāĻāĻŋ āĻŦāĻŋāĻļā§āĻˇ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§ āĻā§āĻ˛ā§ āĻāĻĒāĻŋ āĻāĻ°āĻž āĻ¸āĻŽāĻžāĻĒā§āĻ¤ āĻšā§, āĻāĻŦāĻ āĻŽā§āĻ¸ā§āĻā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻāĻāĻŋ āĻŽā§āĻā§āĻ¤ āĻšā§āĨ¤ āĻāĻ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨āĻāĻŋāĻ° āĻ¨āĻžāĻŽ āĻāĻžāĻ°ā§āĻŽāĻŋāĻ¨ā§āĻāĻ°āĨ¤ āĻāĻāĻāĻŋāĻāĻ° āĻāĻŦāĻ āĻāĻžāĻ°ā§āĻŽāĻŋāĻ¨ā§āĻāĻ°ā§āĻ° āĻŽāĻ§ā§āĻ¯āĻŦāĻ°ā§āĻ¤ā§ āĻāĻāĻļāĻāĻŋāĻ° āĻ¨āĻžāĻŽ āĻāĻĒā§āĻ¨ āĻ°āĻŋāĻĄāĻŋāĻ āĻĢā§āĻ°ā§āĻŽāĨ¤

āĻāĻĒā§āĻ¨ āĻ°āĻŋāĻĄāĻŋāĻ āĻĢā§āĻ°ā§āĻŽā§ āĻāĻŋāĻā§ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ āĻĨāĻžāĻā§ āĻ¯ā§āĻā§āĻ˛ā§ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ° āĻā§āĻ¨ āĻāĻāĻļā§āĻ° āĻā§āĻĄ āĻāĻ°ā§ āĻ¨āĻžāĨ¤ āĻāĻĻā§āĻ° āĻŦāĻ˛ā§ āĻāĻ¨ā§āĻā§āĻ°āĻ¨ (Intron). āĻŦāĻžāĻāĻŋ āĻāĻāĻļāĻā§āĻ˛ā§āĻā§ āĻŦāĻ˛ā§ āĻāĻā§āĻ¸āĻ¨ (Exon).Â āĻ¸āĻĻā§āĻ¯ āĻ¸ā§āĻˇā§āĻ āĻŽā§āĻ¸ā§āĻā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻ āĻĨā§āĻā§ āĻāĻ¨ā§āĻā§āĻ°āĻ¨āĻā§āĻ˛ā§āĻā§ āĻā§āĻā§ āĻŦāĻžāĻĻ āĻĻā§āĻā§āĻž āĻšā§, āĻāĻŦāĻ āĻāĻŦāĻļāĻŋāĻˇā§āĻ āĻāĻāĻļāĻā§āĻ˛ā§āĻā§ āĻā§ā§āĻž āĻ˛āĻžāĻāĻžāĻ¨ā§ āĻšā§āĨ¤ āĻŽāĻ§ā§āĻ¯āĻŦāĻ°ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ āĻŦāĻž āĻāĻāĻžāĻ§āĻŋāĻ āĻāĻā§āĻ¸āĻ¨āĻ āĻŦāĻžāĻĻ āĻ¯ā§āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°ā§āĨ¤ āĻāĻ­āĻžāĻŦā§ āĻāĻāĻ āĻāĻŋāĻ¨ āĻĨā§āĻā§ āĻā§āĻˇ āĻāĻāĻžāĻ§āĻŋāĻ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ āĻ¤ā§āĻ°āĻŋ āĻāĻ°āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°ā§āĨ¤ āĻāĻ°āĻĒāĻ°ā§ āĻŽā§āĻ¸ā§āĻā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻāĻā§āĻ˛ā§āĻā§ āĻŦāĻŋāĻā§āĻ¤āĻŋāĻ° āĻšāĻžāĻ¤ āĻĨā§āĻā§ āĻ°āĻā§āĻˇāĻžāĻ° āĻāĻ¨ā§āĻ¯ 5′ āĻŽāĻžāĻĨāĻžā§ āĻāĻāĻāĻŋ āĻā§āĻ¯āĻžāĻĒ āĻāĻŦāĻ 3′ āĻŽāĻžāĻĨāĻžā§ āĻāĻ¨ā§āĻāĻā§āĻ˛ā§ A āĻĻāĻŋā§ā§ āĻ¤ā§āĻ°āĻŋ āĻāĻāĻāĻŋ āĻ˛ā§āĻ āĻā§ā§ā§ āĻĻā§āĻā§āĻž āĻšā§āĨ¤

āĻāĻ°āĻĒāĻ° āĻāĻ āĻĒāĻ°āĻŋāĻĒāĻā§āĻ (mature) āĻŽā§āĻ¸ā§āĻā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻāĻā§āĻ˛ā§ āĻā§āĻˇā§āĻ° āĻ¨āĻŋāĻāĻā§āĻ˛āĻŋā§āĻžāĻ¸ āĻā§ā§ā§ āĻŦāĻžāĻāĻ°ā§ āĻŦā§āĻ°āĻŋā§ā§ āĻāĻ¸ā§āĨ¤ āĻā§āĻˇā§āĻ° āĻ°āĻžāĻāĻŦā§āĻā§āĻŽ āĻ¤āĻāĻ¨ āĻ¸ā§āĻ āĻŽā§āĻ¸ā§āĻā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻāĻ° āĻā§āĻĄ āĻĒā§ā§ āĻĒāĻ° āĻĒāĻ° āĻ¤āĻŋāĻ¨ āĻŦā§āĻāĻ¸ā§āĻ° āĻĒā§āĻ°āĻ¤āĻŋāĻāĻŋ āĻāĻŽā§āĻŦāĻŋāĻ¨ā§āĻļāĻ¨ā§āĻ°Â  āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻāĻāĻāĻŋ āĻ¨āĻŋāĻ°ā§āĻĻāĻŋāĻˇā§āĻ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄ āĻ¸āĻāĻ¯ā§āĻā§āĻ¤ āĻāĻ°ā§ āĻāĻŽāĻŋāĻ¨ā§ āĻāĻ¸āĻŋāĻĄā§āĻ° āĻāĻāĻāĻŋ āĻļā§āĻāĻ˛Â  āĻŦāĻž āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒā§āĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨ āĻ¤ā§āĻ°āĻŋ āĻāĻ°ā§āĨ¤ āĻāĻ āĻĒā§āĻ°āĻā§āĻ°āĻŋā§āĻžāĻāĻŋāĻ° āĻ¨āĻžāĻŽ āĻā§āĻ°āĻžāĻ¨ā§āĻ¸āĻ˛ā§āĻļāĻ¨ āĻŦāĻž āĻāĻ¨ā§āĻŦāĻžāĻĻāĨ¤

āĻŽā§āĻ¸ā§āĻā§āĻāĻžāĻ° āĻāĻ°āĻāĻ¨āĻāĻ¤ā§ āĻāĻŋāĻā§ āĻŦāĻŋāĻļā§āĻˇ āĻ¤āĻŋāĻ¨ āĻŦā§āĻāĻ¸ā§āĻ° āĻā§āĻĄ āĻĨāĻžāĻā§ āĻ¯āĻžāĻ°āĻž āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒā§āĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨ā§āĻ° āĻ¸ā§āĻāĻ¨āĻž āĻ āĻ¸āĻŽāĻžāĻĒā§āĻ¤āĻŋ āĻ¨āĻŋāĻ°ā§āĻĻā§āĻļ āĻāĻ°ā§āĨ¤ āĻ¸ā§āĻāĻ¨āĻž āĻā§āĻĄ āĻĒā§āĻ˛ā§ āĻ°āĻžāĻāĻŦā§āĻā§āĻŽ āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒā§āĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨ āĻ¤ā§āĻ°āĻŋ āĻāĻ°āĻž āĻļā§āĻ°ā§ āĻāĻ°ā§, āĻāĻŦāĻ āĻ¸āĻŽāĻžāĻĒā§āĻ¤āĻŋ āĻā§āĻĄ āĻĒā§āĻ˛ā§ āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒā§āĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨āĻāĻŋāĻā§ āĻ°āĻžāĻāĻŦā§āĻā§āĻŽ āĻŽā§āĻā§āĻ¤ āĻāĻ°ā§ āĻĻā§ā§āĨ¤ āĻĒāĻ°āĻŦāĻ°ā§āĻ¤ā§āĻ¤ā§ āĻāĻ āĻŦāĻž āĻāĻāĻžāĻ§āĻŋāĻ āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒā§āĻāĻžāĻāĻĄ āĻā§āĻāĻ¨āĻā§ āĻŦāĻŋāĻļā§āĻˇāĻ­āĻžāĻŦā§ āĻ­āĻžāĻāĻ (folding) āĻāĻ°ā§ āĻāĻžāĻā§āĻā§āĻˇāĻŋāĻ¤ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ° āĻāĻāĻāĻŋ āĻāĻŖā§ āĻ¤ā§āĻ°āĻŋ āĻšā§āĨ¤ āĻāĻ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨āĻā§ āĻĒā§āĻ˛āĻžāĻāĻŽāĻž āĻŽā§āĻŽāĻŦā§āĻ°ā§āĻ¨ āĻŦāĻž āĻā§āĻˇā§āĻ° āĻŦāĻžāĻāĻ°ā§ āĻĒāĻžāĻ āĻžāĻ¨ā§āĻ° āĻĒā§āĻ°ā§ā§āĻāĻ¨ āĻĒā§āĻ˛ā§ āĻŦāĻŋāĻ­āĻŋāĻ¨ā§āĻ¨ āĻĒāĻ˛āĻŋāĻĒā§āĻĒā§āĻāĻžāĻāĻĄā§āĻ° āĻ¸āĻŋāĻāĻ¨āĻžāĻ˛ āĻ¸āĻŋāĻā§ā§ā§āĻ¨ā§āĻ¸ āĻ¯ā§āĻā§āĻ¤ āĻšā§āĨ¤ āĻā§āĻˇā§ āĻāĻŋāĻā§ āĻ¸āĻŋāĻāĻ¨āĻžāĻ˛ āĻ°āĻŋāĻāĻāĻ¨āĻŋāĻļāĻ¨ āĻĒāĻžāĻ°ā§āĻāĻŋāĻā§āĻ˛ (āĻāĻ¸āĻāĻ°āĻĒāĻŋ) āĻĨāĻžāĻā§ āĻ¯āĻžāĻ°āĻž āĻāĻ āĻŦāĻŋāĻļā§āĻˇ āĻŦāĻŋāĻļā§āĻˇ āĻ¸āĻŋāĻāĻ¨āĻžāĻ˛ āĻ¸āĻŋāĻā§ā§ā§āĻ¨ā§āĻ¸ā§āĻ° āĻ¸āĻžāĻĨā§ āĻ¯ā§āĻā§āĻ¤ āĻšā§ā§ āĻ āĻŋāĻ āĻ āĻŋāĻ āĻ¸ā§āĻĨāĻžāĻ¨ā§ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨āĻā§ āĻĒā§āĻ°ā§āĻ°āĻŖ āĻāĻ°āĻ¤ā§ āĻ¸āĻžāĻšāĻžāĻ¯ā§āĻ¯ āĻāĻ°ā§āĨ¤

āĻāĻ­āĻžāĻŦā§āĻ āĻ¤ā§āĻ°āĻŋ āĻšā§ āĻāĻā§āĻāĻāĻŋ āĻĒā§āĻ°ā§āĻāĻŋāĻ¨!

# āĻā§āĻ¯āĻžāĻ˛āĻā§āĻ˛ā§āĻāĻ° āĻā§āĻ­āĻžāĻŦā§ log-āĻāĻ° āĻŽāĻžāĻ¨ āĻŦā§āĻ° āĻāĻ°ā§?

āĻŦā§āĻ¯āĻžāĻĒāĻžāĻ°āĻāĻž āĻāĻāĻā§ āĻā§āĻ¯āĻžāĻ˛āĻā§āĻ˛ā§āĻāĻ°ā§āĻ° āĻŽāĻ¤ āĻāĻ°ā§ āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ¤āĻž āĻāĻ°āĻž āĻ¯āĻžāĻāĨ¤ āĻ¸ā§ āĻā§āĻŦ āĻ¸āĻžāĻĻāĻžāĻ¸āĻŋāĻ§ā§ āĻāĻāĻāĻŋ āĻ¯āĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ°āĨ¤ āĻ§āĻ°āĻž āĻ¯āĻžāĻ, āĻ¸ā§ āĻ˛āĻāĻžāĻ°āĻŋāĻĻāĻŽ āĻŦā§āĻā§ āĻ¨āĻž, āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻŦā§ā§ āĻŦā§ā§ āĻ¸āĻāĻā§āĻ¯āĻžāĻ° āĻ¯ā§āĻ, āĻŦāĻŋā§ā§āĻ, āĻā§āĻŖ, āĻ­āĻžāĻ āĻŦāĻž āĻŦāĻ°ā§āĻāĻŽā§āĻ˛ āĻāĻ āĻ¨āĻŋāĻŽāĻŋāĻˇā§ āĻŦā§āĻ° āĻāĻ°ā§ āĻĢā§āĻ˛āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°ā§āĨ¤ āĻ¤āĻžāĻā§ āĻ˛āĻāĻžāĻ°āĻŋāĻĻāĻŽ āĻ¨āĻž āĻļāĻŋāĻāĻŋā§ā§ āĻāĻŽāĻžāĻ° $$\log 2017$$-āĻāĻ° āĻŽāĻžāĻ¨ āĻ¨āĻŋāĻ°ā§āĻŖā§ āĻāĻ°āĻžāĻ¨ā§ āĻĻāĻ°āĻāĻžāĻ°āĨ¤ āĻŦāĻ˛ā§ āĻ¤ā§ āĻāĻŽāĻŋ āĻāĻāĻ¨ āĻā§ āĻāĻ°āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°āĻŋ?

āĻāĻŽāĻŋ āĻšā§āĻ¤ā§ āĻā§āĻ¯āĻžāĻ˛āĻā§āĻ˛ā§āĻāĻ°āĻā§ āĻŦāĻ˛āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°āĻŋ āĻ¯ā§ $$\ln (1+x)$$-āĻāĻ° āĻā§āĻāĻ˛āĻ° āĻ¸āĻŋāĻ°āĻŋāĻ
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\cdots\;(|x| < 1)$

āĻ¸ā§ āĻĄāĻžāĻ¨āĻĒāĻžāĻļā§āĻ° āĻ§āĻžāĻ°āĻžāĻāĻŋāĻ° āĻĒā§āĻ°āĻĨāĻŽ āĻāĻŋāĻā§ āĻĒāĻĻā§āĻ° āĻ¯ā§āĻāĻĢāĻ˛ āĻ¨āĻŋāĻ˛ā§ $$\ln (1+x)$$-āĻāĻ° āĻŽā§āĻāĻžāĻŽā§āĻāĻŋ āĻ¨āĻŋāĻā§āĻāĻ¤ āĻŽāĻžāĻ¨ āĻĒāĻžāĻŦā§āĨ¤ āĻāĻ°āĻĒāĻ° āĻ¸āĻšāĻā§āĻ āĻ¯ā§āĻā§āĻ¨ āĻ§ā§āĻŦāĻ¨āĻžāĻ¤ā§āĻ¨āĻ āĻ¸āĻāĻā§āĻ¯āĻžāĻ° $$\log$$ āĻ¨āĻŋāĻ°ā§āĻŖā§ āĻāĻ°āĻž āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦ, āĻā§āĻ¨āĻ¨āĻž

$\log 2017 = \frac{\ln 2017}{\ln 10}=\frac{\ln\left(1-\frac{2016}{2017}\right)}{\ln\left(1-\frac{9}{10}\right)}$

āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻāĻŽāĻžāĻ° āĻāĻ­āĻžāĻŦā§ āĻāĻ°āĻžāĻāĻž āĻĒāĻāĻ¨ā§āĻĻ āĻšāĻ˛ āĻ¨āĻžāĨ¤ āĻāĻžāĻ°āĻŖ āĻāĻžāĻāĻāĻž āĻŦāĻĄā§āĻĄ āĻ°āĻ¸āĻāĻˇāĻšā§āĻ¨āĨ¤

āĻāĻ°āĻ āĻŽāĻāĻžāĻ° āĻāĻŋāĻā§ āĻ­āĻžāĻŦāĻž āĻ¯āĻžāĻāĨ¤

āĻā§āĻŦ āĻ¸āĻšāĻā§āĻ āĻĻā§āĻāĻž āĻ¯āĻžā§ āĻ¯ā§ $10^3 < 2017 < 10^4 \Longrightarrow 3 <\log 2017 < 4$ āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻĻāĻļāĻŽāĻŋāĻā§āĻ° āĻĒāĻ°ā§āĻ° āĻāĻā§āĻāĻāĻŋ āĻāĻ¤ āĻšāĻŦā§? $$3.1$$ āĻĨā§āĻā§ $$3.9$$ āĻĒāĻ°ā§āĻ¯āĻ¨ā§āĻ¤ $$10$$ āĻāĻ° āĻĒāĻžāĻā§āĻžāĻ° āĻ¨āĻŋā§ā§ āĻāĻŽāĻŋ āĻĻā§āĻāĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°āĻŋ āĻā§āĻ¨āĻāĻž $$2017$$ āĻāĻ° āĻ¸āĻŦāĻā§ā§ā§ āĻāĻžāĻāĻžāĻāĻžāĻāĻŋāĨ¤ āĻāĻ°āĻĒāĻ° āĻĻāĻļāĻŽāĻŋāĻā§āĻ° āĻĒāĻ°ā§āĻ° āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻ¤ā§ā§ āĻāĻā§āĻā§āĻ° āĻāĻ¨ā§āĻ¯āĻ āĻāĻāĻ āĻāĻžāĻ āĻāĻ°āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°āĻŋāĨ¤ āĻāĻ­āĻžāĻŦā§ āĻāĻāĻāĻŋ āĻāĻāĻāĻŋ āĻāĻ°ā§ āĻāĻā§āĻ āĻāĻŽāĻŋ āĻ¨āĻŋāĻ°ā§āĻŖā§ āĻāĻ°ā§ āĻ¯ā§āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°āĻŋāĨ¤ āĻāĻŋāĻ¨ā§āĻ¤ā§ āĻĒā§āĻ°āĻ¤āĻŋāĻāĻŋ āĻāĻā§āĻā§āĻ° āĻāĻ¨ā§āĻ¯ āĻāĻ¤āĻŦāĻžāĻ° āĻāĻ°ā§ $$10$$ āĻāĻ° āĻĒāĻžāĻā§āĻžāĻ° āĻ¨ā§āĻā§āĻž āĻāĻ¸āĻ˛ā§ āĻāĻĒāĻā§āĨ¤ āĻāĻāĻ āĻāĻžāĻ āĻŦāĻžāĻāĻ¨āĻžāĻ°āĻŋāĻ¤ā§ āĻāĻ°āĻ˛ā§ āĻā§āĻŽāĻ¨ āĻšā§? āĻ¸ā§āĻā§āĻˇā§āĻ¤ā§āĻ°ā§ āĻĒā§āĻ°āĻ¤āĻŋāĻāĻŋ āĻāĻā§āĻ $$0$$ āĻāĻĨāĻŦāĻž $$1$$.Â  āĻšāĻŋāĻ¸ā§āĻŦ āĻāĻ°ā§ āĻĻā§āĻāĻž āĻ¯āĻžā§ āĻ¯ā§ $$2017 < 10^{3}\times 10^{\frac{1}{2}}\approx 3162$$. āĻāĻ¤āĻāĻŦ, āĻŦāĻžāĻāĻ¨āĻžāĻ°āĻŋāĻ¤ā§ āĻĻāĻļāĻŽāĻŋāĻā§āĻ° āĻĒāĻ°ā§āĻ° āĻāĻā§āĻāĻāĻŋÂ Â $$0$$. āĻāĻ° āĻĒāĻ°ā§āĻ° āĻāĻā§āĻāĻāĻŋ? āĻĻā§āĻāĻž āĻ¯āĻžā§ āĻ¯ā§ $$2017 > 10^3\times 10^{\frac{1}{4}} \approx 1778$$. āĻāĻ¤āĻāĻŦ, āĻĻāĻļāĻŽāĻŋāĻā§āĻ° āĻĒāĻ°ā§āĻ° āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻ¤ā§ā§ āĻāĻā§āĻāĻāĻŋ $$1$$. āĻŦāĻžāĻāĻ¨āĻžāĻ°āĻŋāĻ¤ā§āĻ āĻāĻŽāĻŋ āĻāĻāĻ āĻāĻžāĻ āĻĒāĻ°āĻŦāĻ°ā§āĻ¤ā§ āĻāĻā§āĻāĻā§āĻ˛ā§āĻ° āĻāĻ¨ā§āĻ¯ā§ āĻāĻ°ā§ āĻ¯ā§āĻ¤ā§ āĻĒāĻžāĻ°āĻŋāĨ¤ āĻāĻ­āĻžāĻŦā§ $$\log$$-āĻāĻ° āĻŽāĻžāĻ¨ āĻ¯ā§āĻā§āĻ¨ āĻāĻ° āĻĒāĻ°ā§āĻ¯āĻ¨ā§āĻ¤ āĻ¨āĻŋāĻā§āĻāĻ¤āĻ­āĻžāĻŦā§ āĻ¨āĻŋāĻ°ā§āĻŖā§ āĻāĻ°āĻž āĻ¸āĻŽā§āĻ­āĻŦāĨ¤

āĻāĻŦāĻžāĻ° āĻ¤āĻžāĻšāĻ˛ā§ āĻāĻāĻĒāĻ āĻā§āĻĄ āĻ˛āĻŋāĻā§ āĻĢā§āĻ˛āĻž āĻ¯āĻžāĻ!

from math import sqrt
def log(base, num, precision = 40):
n, e = float(base), 1.0
# Find a power of base greater than num
while n <= num:
n, e = n**2, e * 2
# that's initial guess for log(base, num)
approx, log_approx = n, e
for i in range(precision):
# improve guess
n, e = sqrt(n), e / 2
if approx / n >= num:
approx = approx / n
log_approx -= e
return log_approx


āĻĒā§āĻ¨āĻļā§āĻ ā§§: āĻ¤ā§āĻŽāĻŋ āĻāĻŋ āĻ§āĻ°āĻ¤ā§ āĻĒā§āĻ°ā§āĻ āĻāĻĒāĻ°ā§āĻ° āĻā§āĻĄāĻāĻž āĻ¯ā§ āĻāĻ¸āĻ˛ā§ āĻŦāĻžāĻāĻ¨āĻžāĻ°āĻŋ āĻ¸āĻžāĻ°ā§āĻ?

āĻĒā§āĻ¨āĻļā§āĻ ā§¨: āĻ¸āĻŦ āĻā§āĻ¯āĻžāĻ˛āĻā§āĻ˛ā§āĻāĻ° āĻĻā§āĻŦāĻŋāĻ¤ā§ā§ āĻĒāĻĻā§āĻ§āĻ¤āĻŋ āĻāĻ¨ā§āĻ¸āĻ°āĻŖ āĻāĻ°ā§ āĻ¨āĻžāĨ¤Â

# āĻāĻ˛ā§āĻŽā§āĻ˛ā§

āĻ¤ā§āĻŽāĻŋ āĻāĻ˛āĻ¸ āĻĻā§āĻĒā§āĻ°ā§ āĻāĻā§āĻ˛āĻž āĻā§āĻā§āĻ° āĻ¸ā§āĻŦāĻ°,
āĻļāĻ°āĻ¤ā§āĻ° āĻ°ā§āĻĻ, āĻāĻļāĻžāĻ¨ āĻā§āĻŖā§āĻ° āĻāĻ­āĻŋāĻŽāĻžāĻ¨ā§ āĻā§āĨ¤
āĻ¤ā§āĻŽāĻŋ āĻĒā§āĻ°āĻ¤āĻŋāĻĻāĻŋāĻ¨ āĻļā§āĻˇā§ āĻāĻŽāĻžāĻ° āĻĒā§āĻ°ā§āĻŖ āĻāĻ°!

āĻ¤ā§āĻŽāĻŋ āĻŽā§āĻā§āĻ° āĻĢāĻžāĻāĻā§ āĻāĻāĻā§āĻāĻžāĻ¨āĻŋ āĻ¨ā§āĻ˛,
āĻĒā§āĻ°āĻžāĻ¨ā§ āĻŦāĻā§ā§āĻ° āĻā§āĻ°āĻžāĻŖ, āĻĒā§āĻ°āĻŋā§ āĻāĻŦāĻŋāĻ¤āĻžāĻ° āĻāĻ¨ā§āĻ¤ā§āĻ¯āĻŽāĻŋāĻ˛āĨ¤
āĻ¤ā§āĻŽāĻŋ āĻāĻāĻŽāĻāĻž āĻ¤āĻĒā§āĻ¤ āĻŽāĻ¨ āĻā§āĻ°āĻŋā§ā§ āĻĻā§āĻā§āĻž āĻāĻŋāĻ˛!